反射
fǎn shè
反射把图形沿一条反射线翻转，得到一个与原图形全等的镜像。
Formula
\text{Reflection across x-axis: } (x, y) \to (x, -y)
Definition
反射把一个图形沿一条称为反射线或镜像线的直线翻转，使每一点都翻转到该直线的另一侧，同时到直线的距离保持不变，就像镜中的像。沿x轴反射把 $(x,y) \to (x,-y)$；沿y轴反射，$(x,y) \to (-x,y)$；沿 $y=x$ 反射，$(x,y) \to (y,x)$；沿 $y=-x$ 反射，$(x,y) \to (-y,-x)$。反射是保持距离但反转方向的等距变换，沿直线 $l$ 的反射把每一点 $P$ 映射到 $P'$，使得 $l$ 是 $PP'$ 的垂直平分线。严格地说，沿过原点、单位方向向量为 $u = (\cos\theta, \sin\theta)$ 的直线的反射由矩阵 $M = 2uu^T - I = \begin{bmatrix}\cos(2\theta) & \sin(2\theta)\\\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{bmatrix}$ 给出；反射是对合变换（$M^2 = I$），行列式为 $-1$，这与旋转（$\det = +1$）不同，$\mathbb{R}^2$ 的每个等距变换都是至多 $3$ 次反射的复合。
Example
把点 $(3, 4)$ 沿x轴反射得到 $(3, -4)$（x坐标不变，y坐标符号翻转），沿y轴反射得到 $(-3, 4)$。把三角形（顶点 $A(1,2)$、$B(4,2)$、$C(3,5)$）沿y轴反射，得到 $A'(-1,2)$、$B'(-4,2)$、$C'(-3,5)$，与原图形全等，但方向相反、互为镜像。沿相隔角度 $\theta$ 的两条直线依次反射，会产生一个绕它们交点、旋转角为 $2\theta$ 的旋转，所以先沿x轴再沿y轴反射（相隔 $\pi/2$）会得到旋转 $\pi$（$180$ 度）。
Key Insight
如果在纸上写一个字，拿到镜子前看，镜子会显示一个反射的像：左右互换，但上下不变。反射会反转方向，顺时针方向的三角形反射后会变成逆时针方向，两次反射的复合会得到一个旋转（如果两条直线相交）或一个平移（如果两条直线平行），这正是每个旋转都能分解为两次反射的原因。构建任意等距变换所需的最少反射次数（$1$、$2$或$3$）对其进行分类：$1$ 次对应反射本身，$2$ 次对应旋转和平移，$3$ 次对应滑移反射。