Reflexión
Una reflexión invierte una figura respecto a una línea de reflexión, produciendo una imagen especular congruente con la original.
Formula
\text{Reflection across x-axis: } (x, y) \to (x, -y)
Definition
Una reflexión voltea una figura a través de una recta, llamada recta de reflexión o línea de espejo, de modo que cada punto se voltea al lado opuesto de la recta mientras permanece a la misma distancia de ella, como una imagen especular. Reflejar a través del eje x transforma $(x,y) \to (x,-y)$; a través del eje y, $(x,y) \to (-x,y)$; a través de $y=x$, $(x,y) \to (y,x)$; a través de $y=-x$, $(x,y) \to (-y,-x)$. Las reflexiones son isometrías que invierten la orientación, y una reflexión a través de la recta $l$ transforma cada punto $P$ en $P'$ tal que $l$ es la mediatriz de $PP'$. Formalmente, la reflexión a través de una recta que pasa por el origen con vector unitario de dirección $u = (\cos\theta, \sin\theta)$ está dada por la matriz $M = 2uu^T - I = \begin{bmatrix}\cos(2\theta) & \sin(2\theta)\\\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{bmatrix}$; las reflexiones son involuciones ($M^2 = I$) con determinante $-1$, distinguiéndolas de las rotaciones ($\det = +1$), y toda isometría de $\mathbb{R}^2$ es una composición de a lo sumo $3$ reflexiones.
Example
Reflejar el punto $(3, 4)$ a través del eje x da $(3, -4)$ (la coordenada x no cambia, el signo de la coordenada y se invierte), y reflejar a través del eje y da $(-3, 4)$. Reflejar un triángulo con vértices $A(1,2)$, $B(4,2)$, $C(3,5)$ a través del eje y da $A'(-1,2)$, $B'(-4,2)$, $C'(-3,5)$, congruente con el original pero una imagen especular con orientación invertida. Componer reflexiones a través de rectas separadas por un ángulo $\theta$ produce una rotación de $2\theta$ alrededor de su intersección, así que reflejar a través del eje x y luego del eje y (separados por un ángulo $\pi/2$) da una rotación de $\pi$ ($180$ grados).
Key Insight
Si escribes una palabra en papel y la sostienes frente a un espejo, el espejo muestra una reflexión: la izquierda y la derecha se intercambian, pero arriba y abajo permanecen igual. Las reflexiones invierten la orientación, un triángulo con orientación horaria se vuelve antihorario después de una reflexión, y dos reflexiones se componen en una rotación (si las rectas se cruzan) o una traslación (si las rectas son paralelas), razón por la cual toda rotación puede descomponerse en dos reflexiones. El número mínimo de reflexiones necesario para construir cualquier isometría ($1$, $2$, o $3$) la clasifica: $1$ para reflexiones, $2$ para rotaciones y traslaciones, $3$ para reflexiones con deslizamiento.