函数的反射（对称变换）
hán shù de fǎn shè (duì chèn biàn huàn)
函数的反射是将其图像沿某条坐标轴翻转,产生关于 x 轴或 y 轴的镜像。
Definition
反射把一个函数的图像翻转，产生镜像，可以关于 $x$ 轴、$y$ 轴反射，或者（为求反函数）关于直线 $y = x$ 反射。把 $f(x)$ 关于 $x$ 轴反射得到 $g(x) = -f(x)$，即把所有 $y$ 值取相反数；关于 $y$ 轴反射得到 $g(x) = f(-x)$，即把 $x$ 替换为 $-x$；关于 $y = x$ 反射则交换 $x$ 和 $y$，从而得到反函数。反射是欧几里得平面上的等距变换（保距映射）：关于 $x$ 轴的反射由矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$ 表示，关于 $y$ 轴的反射由 $\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$ 表示，两条相交直线的反射复合会产生一个旋转，旋转角度是两直线夹角的两倍。
Example
$f(x) = x^2$ 开口向上，而 $g(x) = -x^2$ 关于 $x$ 轴反射后开口向下，$h(x) = (-x)^2$ 关于 $y$ 轴反射（这里形状相同，但对非对称函数则不同）。对于 $f(x) = \sqrt{x}$，定义域 $[0, \infty)$：关于 $x$ 轴反射得到 $-\sqrt{x}$，关于 $y$ 轴反射得到 $\sqrt{-x}$，其定义域为 $(-\infty, 0]$，所以两种反射给出不同的函数。在群论中，反射生成二面体群 $D_n$；函数的反射对称性（偶函数：$f(-x) = f(x)$；奇函数：$f(-x) = -f(x)$）对傅里叶级数也有影响：偶函数只含余弦项，奇函数只含正弦项。
Key Insight
要关于 $x$ 轴反射，在整个函数前面加一个负号；要关于 $y$ 轴反射，把里面的 $x$ 替换为 $-x$。关于 $y = x$ 反射是从图像上求反函数的方法：反函数的图像就是原图像关于这条对角线的镜像。奇偶性（奇偶对称性）就是一种反射性质，利用反射进行的对称性分析能减少物理与工程中的计算量：对称边界条件常常能把模拟所需的区域减半。