Reflexión de una Función
Una reflexión de una función voltea su gráfica a través de un eje, creando una imagen especular a través del eje x o del eje y.
Definition
Una reflexión voltea la gráfica de una función para crear una imagen especular, a través del eje $x$, el eje $y$, o (para encontrar una inversa) a través de la línea $y = x$. Reflejar $f(x)$ a través del eje $x$ da $g(x) = -f(x)$, negando todos los valores de $y$; reflejar a través del eje $y$ da $g(x) = f(-x)$, reemplazando $x$ por $-x$; y reflejar a través de $y = x$ intercambia $x$ y $y$ para producir la función inversa. Las reflexiones son isometrías (aplicaciones que preservan la distancia) en el plano euclidiano: la reflexión a través del eje $x$ se representa mediante la matriz $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$, a través del eje $y$ por $\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$, y componer dos reflexiones a través de líneas que se intersecan produce una rotación por el doble del ángulo entre las líneas.
Example
$f(x) = x^2$ abre hacia arriba, pero $g(x) = -x^2$ se refleja a través del eje $x$ para abrir hacia abajo, mientras que $h(x) = (-x)^2$ se refleja a través del eje $y$ (la misma forma aquí, pero distinta para funciones no simétricas). Para $f(x) = \sqrt{x}$, dominio $[0, \infty)$: reflejar a través del eje $x$ da $-\sqrt{x}$, mientras que reflejar a través del eje $y$ da $\sqrt{-x}$ con dominio $(-\infty, 0]$, así que las dos reflexiones producen funciones distintas. En teoría de grupos, las reflexiones generan grupos diedros $D_n$, y la simetría de reflexión de una función (par: $f(-x) = f(x)$, impar: $f(-x) = -f(x)$) tiene implicaciones para las series de Fourier: las funciones pares tienen solo términos coseno, las funciones impares solo términos seno.
Key Insight
Para reflejar a través del eje $x$, coloca un signo negativo delante de toda la función; para reflejar a través del eje $y$, reemplaza $x$ por $-x$ dentro de ella. Reflejar a través de $y = x$ es la manera de encontrar una función inversa gráficamente, la gráfica de la inversa es la imagen especular de la original a través de esa línea diagonal. La paridad (simetría par/impar) es una propiedad de reflexión, y el análisis de simetría mediante reflexiones reduce el cómputo en física e ingeniería: las condiciones de frontera simétricas a menudo reducen a la mitad el dominio necesario para la simulación.