倒数
dào shù
一个数的倒数是1除以这个数；对于分数a/b，其倒数是b/a。
Formula
\text{reciprocal of } \frac{a}{b} = \frac{b}{a}
Definition
一个分数的倒数就是把它上下颠倒后得到的结果，交换分子和分母：$3/4$的倒数是$4/3$，任何数乘以它的倒数都等于$1$。更一般地，非零数$x$的倒数是$1/x$，也叫乘法逆元；对于分数$a/b$（$a \neq 0$），倒数是$b/a$。形式上，域$F$中非零元素$x$的倒数是它的乘法逆元$x^{-1}$，是满足$x \cdot x^{-1} = 1$的唯一元素；在不是域的环中，并非每个非零元素都有乘法逆元（例如，$2$在$\mathbb{Z}$中没有倒数）。
Example
$2/5$的倒数是$5/2$：验证，$2/5 \times 5/2 = 10/10 = 1$；整数$4$的倒数是$1/4$，因为$4 \times 1/4 = 1$。除以$2/3$等同于乘以它的倒数$3/2$：$5/(2/3) = 5 \times (3/2) = 15/2 = 7.5$，这就是分数除法中"保持-变号-翻转"的方法。在$\mathbb{Z}_7$（模$7$的整数）中，$3$的倒数是$5$，因为$3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$；求这样的模逆元要用到扩展欧几里得算法，这是RSA加密的核心。
Key Insight
倒数是乘法的"撤销"数：乘以$3/4$会使某物变小，乘以它的倒数$4/3$则会撤销这种缩小，把你带回原点。这正是除法之所以能够成立的深层原因，用$x$去除就定义为乘以$x$的乘法逆元，而这个逆元必须存在，除法才有效。域的公理要求每个非零元素都有乘法逆元，倒数的存在正是域与环的区别所在：这正是为什么$\mathbb{Q}$支持除法而$\mathbb{Z}$不支持，整数除法留下余数正是因为倒数在$\mathbb{Z}$中不存在。