Recíproco
El recíproco de un número es 1 dividido entre ese número; para una fracción a/b, el recíproco es b/a.
Formula
\text{reciprocal of } \frac{a}{b} = \frac{b}{a}
Definition
El recíproco de una fracción es lo que obtienes al voltearla de cabeza, intercambiando el numerador y el denominador: el recíproco de $3/4$ es $4/3$, y cualquier número multiplicado por su recíproco siempre da $1$. De manera más general, el recíproco de un número distinto de cero $x$ es $1/x$, también llamado inverso multiplicativo; para una fracción $a/b$ (con $a \neq 0$), el recíproco es $b/a$. Formalmente, el recíproco de un elemento distinto de cero $x$ en un cuerpo $F$ es su inverso multiplicativo $x^{-1}$, el único elemento que satisface $x \cdot x^{-1} = 1$; en un anillo que no es un cuerpo, no todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (por ejemplo, $2$ en $\mathbb{Z}$ no tiene recíproco en $\mathbb{Z}$).
Example
El recíproco de $2/5$ es $5/2$: comprueba, $2/5 \times 5/2 = 10/10 = 1$; el recíproco del número entero $4$ es $1/4$, ya que $4 \times 1/4 = 1$. Dividir entre $2/3$ es lo mismo que multiplicar por su recíproco $3/2$: $5/(2/3) = 5 \times (3/2) = 15/2 = 7.5$, el método de "mantener, cambiar, voltear" para la división de fracciones. En $\mathbb{Z}_7$ (los enteros módulo $7$), el recíproco de $3$ es $5$, ya que $3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$; encontrar estos inversos modulares usa el algoritmo de Euclides extendido y es central en el cifrado RSA.
Key Insight
Los recíprocos son números que "deshacen" la multiplicación: multiplicar por $3/4$ encoge algo, y multiplicar por su recíproco $4/3$ deshace ese encogimiento, devolviéndote al inicio. Esta es la razón más profunda por la que la división funciona en absoluto: la división entre $x$ se define como la multiplicación por el inverso multiplicativo de $x$, que debe existir para que la división sea válida. Los axiomas de cuerpo exigen que todo elemento distinto de cero tenga un inverso multiplicativo, y esta existencia de recíprocos es exactamente lo que distingue a un cuerpo de un anillo: es la razón por la que $\mathbb{Q}$ admite la división mientras que $\mathbb{Z}$ no, la división entera deja residuos precisamente cuando el recíproco no existe en $\mathbb{Z}$.