实部
shí bù
复数 a + bi 的实部是实数 a,记作 Re(z) = a。
Formula
Re(a + bi) = a
Definition
复数 $a + bi$ 的实部就是 $a$，即非虚数的部分；如果把这个复数看作图像上的点 $(a, b)$，实部就是它的横坐标。严格地说，$\text{Re}(z) = a$，等价地 $\text{Re}(z) = (z + \bar{z})/2$，其中 $\bar{z} = a - bi$ 是复共轭，实部是 $z$ 在实轴上的投影。映射 $\text{Re}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R}$-线性的，但不是 $\mathbb{C}$-线性的；对于解析函数 $f = u + iv$，$\text{Re}(f) = u$ 是调和函数（$u_{xx} + u_{yy} = 0$），根据柯西-黎曼方程，$u$ 和 $v$ 是共轭调和函数，所以 $\text{Re}(f)$ 在相差一个常数的意义下决定了 $\text{Im}(f)$。
Example
对于 $5 + 3i$，实部是 $5$；对于 $-2 + 7i$，实部是 $-2$；对于 $4i$（即 $0 + 4i$），实部是 $0$。$\text{Re}(3 - 5i) = 3$，$\text{Re}((2+i)^2) = \text{Re}(3 + 4i) = 3$，不过要注意，一般情况下 $\text{Re}(zw) \neq \text{Re}(z)\text{Re}(w)$。对于 $f(z) = z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$，$\text{Re}(f) = x^2 - y^2$ 是调和函数，其共轭调和函数是 $2xy = \text{Im}(f)$，二者一起满足柯西-黎曼方程。
Key Insight
可以把一个复数看成一对坐标 $(a, b)$：实部 $a$ 是横坐标，虚部 $b$ 是纵坐标，所以在复平面上，水平线是实部恒定的点集，而实轴（$\text{Im}(z) = 0$ 之处）作为一个子集包含了所有实数。调和函数（解析函数的实部）满足均值性质与最大值原理，这使它们成为势论、静电学和稳态热传导的核心。