Parte Real
La parte real de un número complejo a + bi es el número real a, escrito Re(z) = a.
Formula
Re(a + bi) = a
Definition
La parte real de un número complejo $a + bi$ es simplemente $a$, la porción no imaginaria, la coordenada horizontal si piensas en el número complejo como el punto $(a, b)$ en una gráfica. Formalmente, $\text{Re}(z) = a$, equivalentemente $\text{Re}(z) = (z + \bar{z})/2$ donde $\bar{z} = a - bi$ es el conjugado complejo, y es la proyección de $z$ sobre el eje real. La aplicación $\text{Re}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ es $\mathbb{R}$-lineal pero no $\mathbb{C}$-lineal; para funciones analíticas $f = u + iv$, $\text{Re}(f) = u$ es armónica ($u_{xx} + u_{yy} = 0$), y por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, $u$ y $v$ son funciones armónicas conjugadas, así que $\text{Re}(f)$ determina $\text{Im}(f)$ salvo una constante.
Example
Para $5 + 3i$, la parte real es $5$; para $-2 + 7i$, es $-2$; y para $4i$ (es decir, $0 + 4i$), es $0$. $\text{Re}(3 - 5i) = 3$, y $\text{Re}((2+i)^2) = \text{Re}(3 + 4i) = 3$, aunque nótese que $\text{Re}(zw) \neq \text{Re}(z)\text{Re}(w)$ en general. Para $f(z) = z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$, $\text{Re}(f) = x^2 - y^2$ es armónica, con función armónica conjugada $2xy = \text{Im}(f)$, satisfaciendo juntas las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Key Insight
Piensa en un número complejo como un par de coordenadas $(a, b)$: la parte real $a$ es la coordenada horizontal y la parte imaginaria $b$ es la vertical, así que en el plano complejo, las líneas horizontales son conjuntos de parte real constante y el eje real (donde $\text{Im}(z) = 0$) contiene todos los números reales como un subconjunto. Las funciones armónicas, partes reales de funciones analíticas, satisfacen la propiedad del valor medio y el principio del máximo, lo cual las hace centrales en la teoría del potencial, la electrostática, y el flujo de calor en estado estacionario.