实数
shí shù
实数是连续数轴上的任意值，包括所有有理数和无理数。
Definition
实数是可以放在数轴上的任意数，包括自然数、分数、小数以及像 $\pi$ 这样的数。形式上，实数集 $\mathbb{R}$ 是所有有理数与所有无理数的并集，可以表示为小数展开（有限小数、循环小数或无限不循环小数），并且 $\mathbb{R}$ 是一个完备的有序域：任何有界实数集合都存在最小上界（上确界），这一性质在 $\mathbb{Q}$ 中不成立，正是它使得微积分与分析学得以成立。在同构意义下，$\mathbb{R}$ 是唯一的完备有序域，可以通过戴德金分割或柯西序列从 $\mathbb{Q}$ 构造出来，其基数为 $c = 2^{\aleph_0}$，严格大于 $\mathbb{Q}$ 的可数无穷。
Example
$-5$、$0$、$3/4$、$1.7$ 和 $\pi$ 都是实数，数轴上的每一个点恰好代表其中一个；仅在 $[0, 1]$ 这个区间内的实数集合中，就包含 $1/2$（有理数）、$\sqrt{2}/2$（无理代数数）和 $\pi/4$（无理超越数）。介值定理在 $\mathbb{R}$ 中成立：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a) < 0 < f(b)$，则存在 $(a,b)$ 中的 $c$ 使得 $f(c) = 0$，但这一结果在 $\mathbb{Q}$ 中不成立，因为 $f(x) = x^2 - 2$ 在 $[1, 2]$ 内的 $\mathbb{Q}$ 中没有根。
Key Insight
"实"这个词把这些数与"虚数"（如 $\sqrt{-1}$）区分开来，虚数无法放在普通数轴上。完备性，也就是每个有界集合都存在上确界这一关键性质，是分析学得以成立的原因，它在结构上也有所体现：任何闭有界区间的开覆盖都存在有限子覆盖（海涅、博雷尔定理），这是分析学的基石之一。然而 $\mathbb{R}$ 并非代数闭域，因为 $x^2 + 1 = 0$ 没有实数解；复数集 $\mathbb{C}$ 将 $\mathbb{R}$ 加以扩张以实现代数闭性，这由代数基本定理所保证。