Número Real
Un número real es cualquier valor en la recta numérica continua, incluyendo todos los números racionales e irracionales.
Definition
Un número real es cualquier número que puedes ubicar en una recta numérica, incluyendo números cabales, fracciones, decimales, y números como $\pi$. Formalmente, los números reales $\mathbb{R}$ son la unión de todos los números racionales y todos los números irracionales, representables como expansiones decimales (terminales, periódicas, o infinitas no periódicas), y $\mathbb{R}$ es un cuerpo ordenado completo: todo conjunto acotado de números reales tiene una cota superior mínima (supremo), propiedad ausente en $\mathbb{Q}$ que hace posible el cálculo y el análisis. $\mathbb{R}$ es el único cuerpo ordenado completo salvo isomorfismo, construible a partir de $\mathbb{Q}$ mediante cortaduras de Dedekind o sucesiones de Cauchy, con cardinalidad $c = 2^{\aleph_0}$, estrictamente mayor que el infinito numerable de $\mathbb{Q}$.
Example
$-5$, $0$, $3/4$, $1.7$, y $\pi$ son todos números reales, y cada punto de la recta numérica representa exactamente uno de ellos; el conjunto de los reales en $[0, 1]$ por sí solo contiene a $1/2$ (racional), $\sqrt{2}/2$ (irracional algebraico), y $\pi/4$ (irracional trascendente). El teorema del valor intermedio se cumple para $\mathbb{R}$: si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a) < 0 < f(b)$, existe $c$ en $(a,b)$ con $f(c) = 0$, resultado que falla para $\mathbb{Q}$ ya que $f(x) = x^2 - 2$ no tiene raíz en $\mathbb{Q}$ dentro de $[1, 2]$.
Key Insight
La palabra "real" distingue estos números de los números "imaginarios" (como $\sqrt{-1}$), que no se pueden ubicar en la recta numérica ordinaria. La completitud, la propiedad clave de que todo conjunto acotado tiene un supremo, es lo que hace posible el análisis, y también se manifiesta estructuralmente: todo cubrimiento abierto de un intervalo cerrado y acotado tiene un subcubrimiento finito (Heine-Borel), piedra angular del análisis. Sin embargo $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado, ya que $x^2 + 1 = 0$ no tiene solución real; los números complejos $\mathbb{C}$ extienden a $\mathbb{R}$ para lograr la clausura algebraica, garantizada por el Teorema Fundamental del Álgebra.