有理数
yǒu lǐ shù
有理数是任何能表示为分数 p/q 的数，其中 p 和 q 是整数且 q 不为零。
Formula
\frac{p}{q}, \text{ where } p, q \text{ are integers and } q \neq 0
Definition
有理数是任何可以写成分数形式的数，即一个整数除以另一个非零整数，形式上是任意可以表示为 $p/q$ 的实数，其中 $p$ 和 $q$ 是整数且 $q \neq 0$。这包括普通分数、所有整数（$n = n/1$）以及所有有限小数或循环小数：一个小数是有理数当且仅当它是有限小数或最终循环的小数。从代数角度看，有理数集 $\mathbb{Q}$ 是整数集 $\mathbb{Z}$ 唯一的分式域，是一个稠密的全序域，但并不完备，因为有理数的柯西序列未必在 $\mathbb{Q}$ 中收敛。
Example
$3/4$、$-2$、$0.5$ 和 $0.333\ldots$ 都是有理数：$3/4$ 本身就是分数，$-2 = -2/1$，$0.5 = 1/2$，$0.333\ldots = 1/3$。相比之下，$\pi = 3.14159\ldots$ 既不是有限小数也不循环，所以 $\pi$ 是无理数。序列 $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \ldots$ 是 $\mathbb{Q}$ 中的一个柯西序列，其极限是 $\sqrt{2}$，而 $\sqrt{2}$ 并不存在于 $\mathbb{Q}$ 中，这说明了 $\mathbb{Q}$ 的不完备性。
Key Insight
"有理数"一词源自"比率"（ratio）：如果一个数能写成两个整数之比，它就是有理数。任意两个有理数之间必定还存在另一个有理数（即两者的平均值），这种性质称为稠密性，然而 $\mathbb{Q}$ 却是可数的（$\mathbb{Q}$ 与 $\mathbb{N}$ 之间存在一一对应），尽管它在 $\mathbb{R}$ 中稠密。尽管如此稠密，绝大多数实数仍是无理数；有理数虽然可数，却不会在 $\mathbb{Q}$ 内部留下任何可被察觉的"空隙"。