Número Racional
Un número racional es cualquier número que se puede expresar como una fracción p/q, donde p y q son enteros y q no es cero.
Formula
\frac{p}{q}, \text{ where } p, q \text{ are integers and } q \neq 0
Definition
Un número racional es cualquier número que se puede escribir como una fracción, un número entero dividido entre otro (distinto de cero), formalmente cualquier número real expresable como $p/q$ donde $p$ y $q$ son enteros y $q \neq 0$. Esto incluye las fracciones comunes, todos los enteros ($n = n/1$), y todos los decimales que terminan o se repiten: un decimal es racional si y solo si termina o eventualmente se repite. Algebraicamente, los racionales $\mathbb{Q}$ forman el único cuerpo de fracciones de los enteros $\mathbb{Z}$, un cuerpo denso y totalmente ordenado que no es completo, ya que las sucesiones de Cauchy de racionales no necesariamente convergen en $\mathbb{Q}$.
Example
$3/4$, $-2$, $0.5$, y $0.333\ldots$ son todos racionales: $3/4$ ya es una fracción, $-2 = -2/1$, $0.5 = 1/2$, y $0.333\ldots = 1/3$. En cambio $\pi = 3.14159\ldots$ nunca termina ni se repite, así que $\pi$ es irracional. La sucesión $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \ldots$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{Q}$ cuyo límite es $\sqrt{2}$, el cual no existe en $\mathbb{Q}$, demostrando la incompletitud de $\mathbb{Q}$.
Key Insight
La palabra "racional" viene de "razón" (o "ratio"): si puedes escribir un número como razón de dos enteros, es racional. Entre dos números racionales cualesquiera hay otro número racional (el promedio de los dos), propiedad llamada densidad, y sin embargo $\mathbb{Q}$ es numerable (existe una biyección entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{N}$) aunque sea denso en $\mathbb{R}$. A pesar de esta densidad, la mayoría de los números reales son irracionales; los racionales, aunque numerables, no dejan "huecos" detectables desde dentro de $\mathbb{Q}$ mismo.