有理式
yǒu lǐ shì
有理式是分子和分母都是多项式的分数，对所有不使分母为零的值都有定义。
Formula
\frac{P(x)}{Q(x)}, \; Q(x) \neq 0
Definition
有理式是分子和分母都为多项式的分数，$P(x)/Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式；和普通分数一样，分母永远不能等于零，所以它的定义域要排除所有使 $Q(x) = 0$ 的 $x$ 值。化简时，把分子和分母都因式分解并约去公因式，但要注意，即使约去的因式消失了，它所带来的定义域限制仍然适用。严格地说，有理式构成多项式环 $F[x]$ 的分式域，记作 $F(x)$：其元素是满足 $Q \neq 0$ 的数对 $(P, Q)$ 的等价类，其中若 $PQ' = P'Q$，则 $(P, Q) \sim (P', Q')$，这一构造正是 $F$ 上射影直线 $\mathbb{P}^1$ 的函数域，是代数几何中通过有理函数研究曲线之间映射的起点。
Example
$(x + 3)/(x - 2)$ 在 $x = 2$ 时无定义；在 $x = 5$ 时，其值为 $8/3$。$(x^2 - 4)/(x - 2) = (x+2)(x-2)/(x-2) = x + 2$（当 $x \neq 2$ 时），即使因式约去后，这一限制依然适用。在 $F(x)$ 中，$(x^2-1)/(x-1)$ 与 $(x+1)/1$ 作为元素是相等的，因为 $(x^2-1) \cdot 1 = (x+1)(x-1)$，尽管作为函数它们在 $x = 1$ 处不同。
Key Insight
有理式的运算方式和数值分数完全一样：可以化简、乘、除、加、减，但要始终留意除以零的情形。约去一个因式会从公式中移除这个"空洞"，但绝不会移除它所造成的定义域限制，所以务必在化简之前就说明限制条件，这一细节之所以重要，是因为 $\mathbb{Q}[x]$ 是一个整环，这正是分式域构造得以成立的原因。