Expresión Racional
Una expresión racional es una fracción cuyo numerador y denominador son ambos polinomios, definida para todos los valores que no hacen cero al denominador.
Formula
\frac{P(x)}{Q(x)}, \; Q(x) \neq 0
Definition
Una expresión racional es una fracción cuyo numerador y denominador son ambos polinomios, $P(x)/Q(x)$ con $Q(x)$ distinto del polinomio cero; al igual que las fracciones ordinarias, el denominador nunca puede ser igual a cero, así que su dominio excluye cualquier valor de $x$ donde $Q(x) = 0$. Para simplificar, factoriza tanto el numerador como el denominador y cancela los factores comunes, pero ten en cuenta que una restricción proveniente de un factor cancelado sigue aplicándose al dominio incluso después de que el factor desaparece. Formalmente, las expresiones racionales forman el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios $F[x]$, denotado $F(x)$: los elementos son clases de equivalencia de pares $(P, Q)$ con $Q \neq 0$, donde $(P, Q) \sim (P', Q')$ si $PQ' = P'Q$, y esta construcción es el cuerpo de funciones de la línea proyectiva $\mathbb{P}^1$ sobre $F$, el punto de partida para estudiar aplicaciones entre curvas mediante funciones racionales en la geometría algebraica.
Example
$(x + 3)/(x - 2)$ no está definida cuando $x = 2$; en $x = 5$, su valor es $8/3$. $(x^2 - 4)/(x - 2) = (x+2)(x-2)/(x-2) = x + 2$ para $x \neq 2$, y esa restricción sigue aplicándose incluso después de que el factor se cancela. En $F(x)$, $(x^2-1)/(x-1)$ y $(x+1)/1$ son iguales como elementos ya que $(x^2-1) \cdot 1 = (x+1)(x-1)$, aunque como funciones difieren en $x = 1$.
Key Insight
Las expresiones racionales funcionan igual que las fracciones numéricas: se pueden simplificar, multiplicar, dividir, sumar, y restar, siempre vigilando la división entre cero. Cancelar un factor elimina el "hueco" de la fórmula pero nunca la restricción de dominio que creó, así que siempre indica las restricciones antes de simplificar, una sutileza que importa porque el hecho de que $\mathbb{Q}[x]$ sea un dominio de integridad es exactamente lo que hace posible la construcción del cuerpo de fracciones.