极差（统计学）
jí chā (tǒng jì xué)
极差是数据集中最大值与最小值之差，用于衡量整体的分布范围。
Formula
\text{Range} = \text{Maximum value} - \text{Minimum value}
Definition
极差通过测量最小值到最大值的距离来告诉你数据分布的广度，是最简单的变异性度量：$\text{Range} = \max(x_i) - \min(x_i)$。它易于计算，但对异常值高度敏感，因为单个极端值就会使它发生剧烈变化。形式上，极差 $W = X_{(n)} - X_{(1)}$（最大和最小顺序统计量之差）对常见分布族有已知的分布：对于独立同分布的 $\text{Uniform}(0,\theta)$ 样本，极差是 $\theta$ 的一个充分统计量，也是其最大似然估计量，满足 $E[W] = \frac{n-1}{n+1}\theta$。
Example
测验分数 $62$、$74$、$81$、$88$、$95$ 的极差 $= 95 - 62 = 33$，意味着分数跨越了 $33$ 分的差距。温度 $65$、$68$、$70$、$72$、$74$ 的极差为 $9$，但加入一个异常炎热、气温为 $105$ 的日子后，极差变为 $105-65 = 40$，仅仅一个异常值就让它几乎翻了两番。对于独立同分布的 $\text{Exponential}(\lambda)$ 数据，期望极差为 $E[W] = \frac{1}{\lambda}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$，即第 $n$ 个调和数除以 $\lambda$，随 $n$ 增大呈 $(\log n)/\lambda$ 的方式增长。
Key Insight
较小的极差意味着数值聚集在一起，较大的极差意味着数值分布分散，但极差只关注两个极端值，忽略了中间的一切。由于对异常值敏感，极差常被四分位距（IQR）取代，后者测量中间 $50\%$ 数据的分布范围，忽略极端值。极值理论研究极差及相关统计量（最大值、最小值）随 $n$ 增大时的行为，构成了针对罕见灾难性事件进行风险管理的数学基础。