Rango (Estadística)
El rango es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de un conjunto de datos, y mide la dispersión general.
Formula
\text{Range} = \text{Maximum value} - \text{Minimum value}
Definition
El rango indica qué tan dispersos están los datos midiendo la distancia entre el valor más pequeño y el más grande, la medida de variabilidad más simple: $\text{Range} = \max(x_i) - \min(x_i)$. Es fácil de calcular pero es muy sensible a los valores atípicos, ya que un solo valor extremo lo cambia drásticamente. Formalmente, el rango $W = X_{(n)} - X_{(1)}$ (la diferencia entre los estadísticos de orden máximo y mínimo) tiene una distribución conocida para familias comunes: para muestras i.i.d. $\text{Uniform}(0,\theta)$, el rango es un estadístico suficiente para $\theta$ y una MLE, con $E[W] = \frac{n-1}{n+1}\theta$.
Example
Las calificaciones de examen $62$, $74$, $81$, $88$, $95$ tienen rango $= 95 - 62 = 33$, lo que significa que las calificaciones abarcan una brecha de $33$ puntos. Las temperaturas $65$, $68$, $70$, $72$, $74$ tienen rango $9$, pero agregar un día inusualmente caluroso a $105$ cambia el rango a $105-65 = 40$, casi cuadruplicándolo por un solo valor atípico. Para datos i.i.d. $\text{Exponential}(\lambda)$, el rango esperado es $E[W] = \frac{1}{\lambda}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$, el $n$-ésimo número armónico dividido entre $\lambda$, creciendo como $(\log n)/\lambda$ a medida que $n$ crece.
Key Insight
Un rango pequeño significa que los valores están agrupados, un rango grande significa que están dispersos, pero el rango solo observa los dos extremos e ignora todo lo demás. Debido a su sensibilidad a los valores atípicos, el rango a menudo se reemplaza por el rango intercuartílico (IQR), que mide la dispersión del $50\%$ central de los datos e ignora los extremos. La teoría de valores extremos estudia el comportamiento del rango y estadísticos relacionados (máximos, mínimos) a medida que $n$ crece, formando el fundamento matemático de la gestión de riesgo para eventos catastróficos raros.