函数的值域
hán shù de zhí yù
函数的值域是该函数能够产生的所有可能输出值组成的集合。
Definition
值域是一个函数实际能够产生的所有可能输出组成的集合（与定义域，即允许的输入相对）：把定义域中的每一个值代入之后，值域就是所有实际可以达到的输出值。严格地说，$f: A \to B$ 的值域（或像）是集合 $f(A) = \{f(a) : a \in A\}$，它是陪域 $B$ 的一个子集；一个函数是满射的，当且仅当它的值域等于它的陪域。
Example
若 $f(x) = x^2$，输出总是 $0$ 或正数，因为平方运算永远不会产生负数，所以值域是 $[0, \infty)$。对于定义在全体实数上的 $f(x) = 2x + 1$，任何实数 $y$ 都可以通过解 $y = 2x + 1$ 得到对应的 $x$ 而实现，所以值域是全体实数；而对于 $g(x) = x^2$，任何负数 $y$ 都无法实现。用代数方法求值域有时并不足够：对于 $f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1)$，通过界的分析可知对所有实数 $x$ 都有 $-1 < f(x) < 1$，所以值域是 $(-1, 1)$。
Key Insight
值域有时也被称为函数的像，把它与陪域区分开来，对判断一个函数是否为满射非常重要。对于实分析中的可测函数，值域与测度论相互关联：可测集的原像必须是可测的，函数才是可测的。