Rango de una Función
El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles que produce la función.
Definition
El rango es el conjunto de todas las salidas que una función realmente puede producir (a diferencia del dominio, que son las entradas permitidas): después de sustituir cada valor del dominio, el rango es todo valor de salida que efectivamente se alcanza. Formalmente, el rango (o imagen) de $f: A \to B$ es el conjunto $f(A) = \{f(a) : a \in A\}$, un subconjunto del codominio $B$; una función es sobreyectiva si y solo si su rango es igual a su codominio.
Example
Si $f(x) = x^2$, las salidas siempre son $0$ o positivas ya que elevar al cuadrado nunca produce un número negativo, así que el rango es $[0, \infty)$. Para $f(x) = 2x + 1$ sobre todos los números reales, cada $y$ real es alcanzable resolviendo $y = 2x + 1$ para $x$, así que el rango es todos los reales, mientras que para $g(x) = x^2$ ningún $y$ negativo es alcanzable. Encontrar el rango analíticamente puede requerir más que una simple inversión algebraica: para $f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1)$, un análisis de cotas muestra que $-1 < f(x) < 1$ para todo $x$ real, así que el rango es $(-1, 1)$.
Key Insight
El rango a veces se llama la imagen de la función, y distinguirlo del codominio importa para determinar si una función es sobreyectiva. Para funciones medibles en análisis real, el rango interactúa con la teoría de la medida: las preimágenes de conjuntos medibles deben ser medibles para que la función sea medible.