半径
bàn jìng
半径是圆心到圆上任意一点的距离，等于直径的一半。
Formula
r = d/2; \text{Circumference} = 2\pi r; \text{Area} = \pi r^2
Definition
半径是圆心到圆边缘上任意一点的距离；同一个圆内的每条半径都相等，直径总是恰好等于半径的两倍，$d=2r$。对于半径为 $r$ 的圆：周长 $=2\pi r$，面积 $=\pi r^2$，从距离圆心 $d$ 的外部一点引出的切线长度为 $\sqrt{d^2-r^2}$，这是切线-半径定理的推论，因为通过切点的半径总是垂直于切线。边长为 $a,b,c$、面积为 $A$ 的三角形的外接圆半径为 $R=abc/(4A)$，内切圆半径为 $r=A/s$(其中 $s$ 为半周长)。
Example
半径为 $30$ 厘米的自行车轮直径为 $60$ 厘米；如果一个圆的直径是 $10$ 厘米，它的半径就是 $5$ 厘米。对于半径 $7$：周长 $=14\pi\approx43.98$，面积 $=49\pi\approx153.94$；如果一个外部点距圆心 $25$ 个单位，切线长度为 $\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$。对于一个 $3$-$4$-$5$ 直角三角形：外接圆半径 $R=60/24=2.5$(斜边的一半，验证了泰勒斯定理)，内切圆半径 $r=6/6=1$。
Key Insight
"半径"(radius)一词源自拉丁语，意为"射线"或"轮辐"，圆的所有半径都相等，正是这一点使它如此完美地圆。圆的曲率是 $\kappa=1/r$，所以圆越大曲率越小，欧拉不等式 $R\ge2r$(仅当三角形为等边三角形时取等号)优美地刻画了三角形外接圆半径与内切圆半径之间的关系；结合外心与内心之间距离的欧拉公式 $OI^2=R(R-2r)$，共同构成了一套完整的三角形-圆关系理论。