Radio
El radio es la distancia del centro de un círculo a cualquier punto del círculo, igual a la mitad del diámetro.
Formula
r = d/2; \text{Circumference} = 2\pi r; \text{Area} = \pi r^2
Definition
El radio es la distancia del centro de un círculo a cualquier punto de su borde; todos los radios de un mismo círculo son iguales, y el diámetro siempre es exactamente el doble del radio, $d=2r$. Para un círculo de radio $r$: circunferencia $=2\pi r$, área $=\pi r^2$, y una tangente desde un punto externo a distancia $d$ del centro tiene longitud $\sqrt{d^2-r^2}$, una consecuencia del teorema de la tangente y el radio, ya que un radio hacia el punto de tangencia siempre es perpendicular a la tangente. El circunradio de un triángulo con lados $a,b,c$ y área $A$ es $R=abc/(4A)$, y su inradio es $r=A/s$ (con $s$ el semiperímetro).
Example
Una rueda de bicicleta con radio $30$ cm tiene diámetro $60$ cm; si un círculo tiene diámetro $10$ cm, su radio es $5$ cm. Para radio $7$: circunferencia $=14\pi\approx43.98$, área $=49\pi\approx153.94$; si un punto externo está a $25$ unidades del centro, la longitud de la tangente es $\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$. Para un triángulo rectángulo $3$-$4$-$5$: circunradio $R=60/24=2.5$ (la mitad de la hipotenusa, confirmando el teorema de Tales) e inradio $r=6/6=1$.
Key Insight
La palabra "radio" viene del latín y significa "rayo" o "radio de una rueda", y que todos los radios de un círculo sean iguales es exactamente lo que lo hace tan perfectamente redondo. La curvatura de un círculo es $\kappa=1/r$, así que un círculo más grande tiene menor curvatura, y la desigualdad de Euler $R\ge2r$ (con igualdad solo para triángulos equiláteros) captura elegantemente la relación entre el circunradio y el inradio de un triángulo; combinada con la fórmula de Euler $OI^2=R(R-2r)$ para la distancia entre el circuncentro y el incentro, forma una teoría completa de relaciones entre triángulos y círculos.