根式
gēn shì
根式含有作用在变量或多项式表达式上的根号（平方根、立方根等）。
Formula
\sqrt{x}, \; \sqrt[n]{x} = x^{1/n}
Definition
根式含有一个作用在数、变量或多项式上的根号（平方根、立方根，或更高次根），被开方的部分称为被开方数。它可以改写为有理指数的形式，$\sqrt[n]{\text{表达式}} = (\text{表达式})^{1/n}$，把根式运算与指数法则直接联系起来。当根指数为偶数时，被开方数必须非负才能得到实数结果，化简则意味着把完全平方数（或 $n$ 次幂）从被开方数中提取出来。严格地说，根式是由某个多项式的根所生成的代数扩域中的元素，在 $\mathbb{Q}$ 上，$\sqrt{2}$ 生成 $2$ 次扩域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q}\}$，更一般地，$n$ 次根生成分圆扩域或库默尔扩域；伽罗瓦理论精确地回答了哪些代数数可以用根式表达，即那些最小多项式的伽罗瓦群可解的代数数。
Example
$\sqrt{x + 3}$ 只有当 $x \ge -3$ 时才有定义，因为被开方数必须非负。$\sqrt{48x^3} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x} = 4x\sqrt{3x}$（当 $x \ge 0$ 时），把完全平方数 $16x^2$ 从根号下提取了出来。$x^5 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域包含 $2$ 的五次方根和本原 $5$ 次单位根，其伽罗瓦群阶数为 $20$，是可解的，所以 $x^5 - 2 = 0$ 可以用根式求解。
Key Insight
"radical"（根式）一词源自拉丁语中"根"的意思：平方根问的是哪个数自乘会得到被开方数。根式表达式是"用根式可解性"这一概念的基本组成部分，根式扩域与可解伽罗瓦群之间的联系是伽罗瓦理论的核心结果，解释了为什么一般的 $5$ 次及更高次多项式根本无法用根式求解。