根式方程
gēn shì fāng chéng
根式方程是指变量出现在根号（如平方根）内的方程，求解方法是先孤立根式，再把两边同时取相应的次幂。
Definition
根式方程是变量出现在根号内的方程；求解时要先孤立出根式，再把两边同时取与根指数相匹配的次幂，解出所得的方程，然后把每个解代回原方程中检验，因为两边同时取幂并不是可逆的（等价）步骤，可能会引入虚假的增根。严格地说，孤立出形如 $f(x)^{1/n} = g(x)$ 的根式并把两边取 $n$ 次幂，会得到 $f(x) = g(x)^n$，当 $n$ 为偶数时，这是一个多对一的运算，所以真正的解集是 $f(x) = g(x)^n$ 的解与定义域约束 $g(x) \ge 0$ 的交集，这一约束是为了匹配主值根的约定所需要的。
Example
$\sqrt{x + 3} = 5$：两边平方得到 $x + 3 = 25$，所以 $x = 22$；验证：$\sqrt{22+3} = 5$，正确。$\sqrt{2x-1} = x - 2$：两边平方得到 $x^2 - 6x + 5 = 0 = (x-1)(x-5)$，所以 $x = 1$ 或 $x = 5$，但验证 $x = 1$ 时，$\sqrt{1}=1$ 而 $1-2=-1$（不相符，是增根），而 $x = 5$ 时，$\sqrt{9}=3$ 而 $5-2=3$（正确）。$\sqrt{x} = -3$ 根本没有实数解，尽管平方后得到 $x = 9$，因为主值平方根 $\sqrt{9} = 3$ 永远不可能等于 $-3$。
Key Insight
一定要把解代回原方程检验，两边平方可能会制造出被称为"增根"的虚假答案，因为平方运算会丢失符号信息。这种偶次幂的多对一行为，以及更一般的 $n$ 次根的多值性质（每个非零复数都有 $n$ 个不同的 $n$ 次根），在复分析中通过黎曼曲面得到了严谨的处理。