弧度
hú dù
弧度是一种角度度量单位，等于圆心处由长度等于半径的弧所对的角。
Formula
\theta \text{ (radians)} = \frac{\text{arc length}}{\text{radius}}; \quad 2\pi \text{ radians} = 360 \text{ degrees}
Definition
弧度是一种利用圆的半径来度量角的方式：一弧度是所对弧长恰好等于半径的圆心角。由于周长 $= 2\pi r$，一整圈 $= 2\pi$ 弧度 $= 360^\circ$，所以 $1$ 弧度 $= 180^\circ/\pi \approx 57.296^\circ$。弧度制是由 $\text{arc length}/\text{radius}$ 定义的自然无量纲角度单位；它使微积分中的恒等式变得简洁，因为 $x \to 0$ 时 $\sin(x)/x$ 的极限等于 $1$ 只在弧度制下成立，它也是唯一能使指数映射 $e^{ix}$ 成为等距映射的 $S^1$ 参数化方式。
Example
在半径为 $5$ 厘米的圆上，沿边缘走 $5$ 厘米恰好转过 $1$ 弧度（约 $57.3^\circ$），整圈是 $2\pi \approx 6.28$ 弧度。常见换算包括 $\pi/6 = 30^\circ$、$\pi/4 = 45^\circ$、$\pi/3 = 60^\circ$、$\pi/2 = 90^\circ$、$\pi = 180^\circ$，以及 $2\pi = 360^\circ$。泰勒级数 $\sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - \ldots$ 要求 $x$ 以弧度为单位；若用角度，则整个公式都需要额外乘上 $\pi/180$，这会破坏公式的简洁性。
Key Insight
一整圈约有 $6.28$ 弧度，因为周长（$2\pi r$）除以半径（$r$）$= 2\pi$。用角度表示时，$d/dx[\sin(x)] = (\pi/180)\cos(x)$，但用弧度表示时，$d/dx[\sin(x)] = \cos(x)$，去掉了那个繁琐的换算因子，这正是高等数学都使用弧度的原因。弧度制之所以"自然"，是因为它直接源自圆的几何本身，而不依赖任何人为约定；$360$ 度的选择是历史性的（源自巴比伦 $60$ 进制），但弧度却是由几何本身所决定的。