Radián
Un radián es una unidad de medida angular igual al ángulo que subtiende, en el centro de un círculo, un arco de longitud igual al radio.
Formula
\theta \text{ (radians)} = \frac{\text{arc length}}{\text{radius}}; \quad 2\pi \text{ radians} = 360 \text{ degrees}
Definition
Un radián es una manera de medir ángulos usando el radio de un círculo: un radián es el ángulo central que intercepta un arco de longitud igual al radio. Como la circunferencia $= 2\pi r$, una revolución completa $= 2\pi$ radianes $= 360^\circ$, así que $1$ radián $= 180^\circ/\pi \approx 57.296^\circ$. La medida en radianes es la unidad de ángulo natural y adimensional definida por $\text{arc length}/\text{radius}$; hace que las identidades del cálculo sean limpias, ya que el límite cuando $x \to 0$ de $\sin(x)/x = 1$ se cumple solo en radianes, y es la única parametrización de $S^1$ que hace del mapa exponencial $e^{ix}$ una isometría.
Example
En un círculo con radio $5$ cm, caminar $5$ cm a lo largo del borde te hace girar exactamente $1$ radián (unos $57.3^\circ$), y un círculo completo son $2\pi \approx 6.28$ radianes. Conversiones comunes incluyen $\pi/6 = 30^\circ$, $\pi/4 = 45^\circ$, $\pi/3 = 60^\circ$, $\pi/2 = 90^\circ$, $\pi = 180^\circ$ y $2\pi = 360^\circ$. La serie de Taylor $\sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - \ldots$ requiere que $x$ esté en radianes; en grados necesitaría un factor extra de $\pi/180$ en todas partes, destruyendo la elegancia de la fórmula.
Key Insight
Hay aproximadamente $6.28$ radianes en un círculo completo porque la circunferencia ($2\pi r$) dividida entre el radio ($r$) $= 2\pi$. En grados, $d/dx[\sin(x)] = (\pi/180)\cos(x)$, pero en radianes, $d/dx[\sin(x)] = \cos(x)$, eliminando el molesto factor de conversión, razón por la cual toda la matemática superior usa radianes. La medida en radianes es "natural" en el sentido de que surge de la geometría del círculo sin convención arbitraria alguna; la elección de $360$ grados es histórica (el sistema babilónico de base $60$), pero los radianes están dictados por la geometría misma.