商法则
shāng fǎ zé
商法则给出一个函数除以另一个函数的导数:$(f/g)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$。
Formula
\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}
Definition
商法则用于求一个分式的导数，其中分子和分母都是函数，遵循口诀"分母乘分子导数减分子乘分母导数，再除以分母的平方"。若 $g(x) \neq 0$，则 $d/dx[f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2$，这可以通过对 $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$ 应用乘积法则推导出来，因此它是乘积法则与链式法则的直接推论。对于全纯（复）函数，它同样以完全相同的形式成立。
Example
对 $x^2 / \sin(x)$ 求导得到 $(2x\sin x - x^2\cos x) / \sin^2(x)$。对于 $f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)$：$f'(x) = [2x(x-2) - (x^2+1)(1)] / (x-2)^2 = (x^2 - 4x - 1)/(x-2)^2$。用商法则对 $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ 求导，得到 $(\cos^2 x + \sin^2 x)/\cos^2 x = 1/\cos^2 x = \sec^2 x$，这是物理学中随处可见的标准结果。
Key Insight
商法则在分子中总是做减法（而不是加法），所以顺序很重要，交换 $f$ 与 $g$ 会得到不同的答案；许多教师更喜欢把除法改写成乘以负指数幂，再使用乘积法则和链式法则，这样可以避开减法顺序的陷阱。在代数几何中，商法则推广为函数域上的求导，把微分学与代数簇的研究联系起来。