Regla del Cociente
La regla del cociente da la derivada de una función dividida entre otra: $(f/g)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$.
Formula
\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}
Definition
La regla del cociente encuentra la derivada de una fracción donde tanto el numerador como el denominador son funciones, siguiendo el mnemónico "el de abajo por la derivada del de arriba, menos el de arriba por la derivada del de abajo, todo sobre el cuadrado de abajo." Si $g(x) \neq 0$, entonces $d/dx[f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2$, lo cual puede derivarse aplicando la regla del producto a $f(x) \cdot [g(x)]^{-1}$, haciendo de ella una consecuencia directa de la regla del producto y la regla de la cadena. Para funciones holomorfas (complejas) se cumple exactamente en la misma forma.
Example
Diferenciar $x^2 / \sin(x)$ da $(2x\sin x - x^2\cos x) / \sin^2(x)$. Para $f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)$: $f'(x) = [2x(x-2) - (x^2+1)(1)] / (x-2)^2 = (x^2 - 4x - 1)/(x-2)^2$. Diferenciar $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ mediante la regla del cociente da $(\cos^2 x + \sin^2 x)/\cos^2 x = 1/\cos^2 x = \sec^2 x$, un resultado estándar usado en toda la física.
Key Insight
La regla del cociente siempre resta (no suma) en el numerador, así que el orden importa, intercambiar $f$ y $g$ da una respuesta distinta; muchos profesores prefieren reescribir la división como multiplicación por una potencia negativa y usar las reglas del producto y la cadena, lo cual evita la trampa del orden en la resta. En geometría algebraica, la regla del cociente se generaliza a la derivación de campos de funciones, conectando el cálculo diferencial con el estudio de las variedades algebraicas.