商恒等式
shāng héng děng shì
商恒等式把正切表示为正弦除以余弦，把余切表示为余弦除以正弦。
Formula
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}; \quad \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}
Definition
商恒等式指出，正切等于正弦除以余弦，余切等于余弦除以正弦：$\tan(\theta) = \sin(\theta)/\cos(\theta)$ 和 $\cot(\theta) = \cos(\theta)/\sin(\theta)$。它们由 SOH-CAH-TOA 的定义推出，$\tan = \text{opposite}/\text{adjacent} = (\text{opposite}/\text{hypotenuse})/(\text{adjacent}/\text{hypotenuse})$，从几何上看，对于单位圆上的点 $(x, y) = (\cos(\theta), \sin(\theta))$，从原点到 $(x, y)$ 的直线斜率为 $y/x = \sin/\cos = \tan$，这把正切与斜率以及微分几何中的切线联系起来。作为整函数之比，$\tan(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 上是亚纯函数，在 $x = \pi/2 + n\pi$ 处有单极点。
Example
如果 $\sin(\theta) = 0.6$ 且 $\cos(\theta) = 0.8$，那么 $\tan(\theta) = 0.6/0.8 = 0.75$，与对边比邻边直接吻合。化简 $(\sin^2(x) + \cos^2(x))/\cos^2(x) = 1/\cos^2(x) = \sec^2(x)$，即等价于 $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$，正是还原出勾股恒等式。和角公式 $\tan(a + b) = (\tan(a) + \tan(b))/(1 - \tan(a)\tan(b))$ 是把分子分母同除以 $\cos(a)\cos(b)$，由商恒等式结合正弦、余弦的和角公式推导得出的。
Key Insight
这些恒等式表明，你其实只需要正弦和余弦：其他所有三角函数都可以通过除法或取倒数由这两者构造出来，这也是为什么 $\tan(90^\circ)$ 无定义，因为 $\sin(90^\circ) = 1$ 而 $\cos(90^\circ) = 0$。商恒等式是"全纯函数之比是亚纯函数"这一普遍原理的一个实例，所以正切的零点和极点同时编码了正弦和余弦完整的解析结构。