Identidad de Cociente
Las identidades de cociente expresan la tangente como el seno dividido entre el coseno, y la cotangente como el coseno dividido entre el seno.
Formula
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}; \quad \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}
Definition
Las identidades de cociente dicen que la tangente es igual al seno dividido entre el coseno, y la cotangente es igual al coseno dividido entre el seno: $\tan(\theta) = \sin(\theta)/\cos(\theta)$ y $\cot(\theta) = \cos(\theta)/\sin(\theta)$. Se derivan de las definiciones de SOH-CAH-TOA, $\tan = \text{opposite}/\text{adjacent} = (\text{opposite}/\text{hypotenuse})/(\text{adjacent}/\text{hypotenuse})$, y geométricamente, para un punto $(x, y) = (\cos(\theta), \sin(\theta))$ sobre el círculo unitario, la pendiente de la línea desde el origen hasta $(x, y)$ es $y/x = \sin/\cos = \tan$, vinculando la tangente con la pendiente y con la recta tangente en geometría diferencial. Como cociente de funciones enteras, $\tan(x)$ es meromorfa en $\mathbb{C}$ con polos simples en $x = \pi/2 + n\pi$.
Example
Si $\sin(\theta) = 0.6$ y $\cos(\theta) = 0.8$, entonces $\tan(\theta) = 0.6/0.8 = 0.75$, coincidiendo directamente con opuesto/adyacente. Simplificar $(\sin^2(x) + \cos^2(x))/\cos^2(x) = 1/\cos^2(x) = \sec^2(x)$, o de manera equivalente $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$, recupera la identidad pitagórica. La fórmula de adición $\tan(a + b) = (\tan(a) + \tan(b))/(1 - \tan(a)\tan(b))$ se deriva de la identidad de cociente combinada con las fórmulas de adición del seno y el coseno, dividiendo numerador y denominador entre $\cos(a)\cos(b)$.
Key Insight
Estas identidades muestran que en realidad solo necesitas seno y coseno: todas las demás funciones trigonométricas pueden construirse a partir de esas dos mediante división o recíprocos, y esta es la razón por la cual $\tan(90^\circ)$ no está definida, ya que $\sin(90^\circ) = 1$ pero $\cos(90^\circ) = 0$. La identidad de cociente es un caso del principio general de que los cocientes de funciones holomorfas son meromorfos, así que los ceros y polos de tan codifican la estructura analítica completa de sin y cos simultáneamente.