二次函数
èr cì hán shù
二次函数是次数为 2 的多项式函数,其图像呈 U 形曲线,称为抛物线。
Formula
f(x) = ax^2 + bx + c
Definition
二次函数含有 $x^2$ 项，图像呈 U 形（或倒 U 形）曲线，称为抛物线，基本形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）。它的图像顶点为 $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$，当 $a > 0$ 时开口向上，当 $a < 0$ 时开口向下；判别式 $D = b^2 - 4ac$ 决定了根的情况：两个不同实根（$D > 0$）、一个重根（$D = 0$），或一对共轭复根（$D < 0$）。
Example
$f(x) = x^2$ 给出最基本的开口向上的抛物线，而 $f(x) = -x^2$ 开口向下，图像的最高点或最低点称为顶点；对于 $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$，顶点在 $x = -(-8)/(2 \times 2) = 2$，$y = 2(4) - 16 + 6 = -2$，所以顶点是 $(2, -2)$。在 $\mathbb{C}$ 上，每个二次函数都恰好有两个根（计重数）：$f(x) = x^2 + 1$ 的根是 $i$ 和 $-i$，没有实根，因为 $D = -4 < 0$。$n$ 个变量的二次型 $f(x) = x^T A x$ 把标量二次函数推广到更高维度，其正定性在优化和微分几何中至关重要。
Key Insight
把一个球抛向空中，它的路径描出一条抛物线：二次函数可以为任何具有最大值或最小值的事物建模，比如利润、抛体高度，或卫星天线的形状。顶点式 $f(x) = a(x - h)^2 + k$ 直接揭示了顶点 $(h, k)$ 和各种变换，配方法可以把一般式转化为顶点式；二次函数是最简单的非线性多项式函数，这正是判别式与顶点成为如此强大的诊断工具的原因。