Función Cuadrática
Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2 cuya gráfica forma una curva en U llamada parábola.
Formula
f(x) = ax^2 + bx + c
Definition
Una función cuadrática tiene un término $x^2$ y forma una curva en forma de U (o una U invertida), llamada parábola, con la forma básica $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). Su gráfica tiene un vértice en $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$, que abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$; el discriminante $D = b^2 - 4ac$ determina entonces las raíces: dos reales ($D > 0$), una real repetida ($D = 0$), o dos complejas conjugadas ($D < 0$).
Example
$f(x) = x^2$ da la parábola básica que abre hacia arriba mientras que $f(x) = -x^2$ abre hacia abajo, con el punto más alto o más bajo llamado el vértice; para $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$, el vértice está en $x = -(-8)/(2 \times 2) = 2$, $y = 2(4) - 16 + 6 = -2$, así que el vértice es $(2, -2)$. Sobre $\mathbb{C}$, toda cuadrática tiene exactamente dos raíces contadas con multiplicidad: $f(x) = x^2 + 1$ tiene raíces $i$ y $-i$ pero ninguna raíz real ya que $D = -4 < 0$. Las formas cuadráticas en $n$ variables, $f(x) = x^T A x$, generalizan las cuadráticas escalares a dimensiones superiores, y su definición de signo es central en optimización y geometría diferencial.
Key Insight
Lanza una pelota al aire y su trayectoria traza una parábola: las cuadráticas modelan cualquier cosa con un valor máximo o mínimo, ganancias, altura de un proyectil, o la forma de una antena parabólica. La forma de vértice $f(x) = a(x - h)^2 + k$ revela directamente el vértice $(h, k)$ y las transformaciones, y completar el cuadrado convierte la forma estándar en forma de vértice; las cuadráticas son las funciones polinómicas no lineales más simples, razón por la cual el discriminante y el vértice son herramientas de diagnóstico tan poderosas.