求根公式
qiú gēn gōng shì
求根公式给出任意二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解，即 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
Formula
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Definition
求根公式可以直接求解任意二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中的"$\pm$"一次性给出两个解（如果判别式为零，则给出一个解）。它是通过对一般式配方而推导出来的，理解这一过程能揭示公式的来源，而不必死记硬背。在 $\mathbb{C}$ 上，它总是给出两个值（计入重数），它可以推广为三次方程（卡尔达诺）和四次方程（费拉里）的闭式解，但对 $5$ 次及更高次方程，并不存在类似的公式（阿贝尔-鲁菲尼定理）。
Example
$x^2 - 5x + 6 = 0$：$a=1$，$b=-5$，$c=6$，所以 $x = (5 \pm \sqrt{25-24})/2 = (5 \pm 1)/2$，得到 $x = 3$ 或 $x = 2$。$3x^2 + 2x - 1 = 0$：$x = (-2 \pm \sqrt{4+12})/6 = (-2 \pm 4)/6$，得到 $x = 1/3$ 或 $x = -1$。对 $x^2 + x + 1 = 0$ 而言，$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$，得到 $x = (-1 \pm i\sqrt{3})/2$，即满足 $x^6 = 1$ 的本原 $6$ 次单位根。
Key Insight
求根公式总是有效，即使在无法因式分解的时候也能用，这正是它值得记忆的原因；但它其实只是把配方法一般性地做了一次而已。作为一个嵌套着平方根的表达式，它的存在恰恰是 $2$ 次方程可以用根式求解的原因，而 $5$ 次及更高次方程不存在类似公式这一事实，是代数中最深刻的结果之一，是用群论证明的。