Fórmula Cuadrática
La fórmula cuadrática da las soluciones de cualquier ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ como $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Formula
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Definition
La fórmula cuadrática resuelve directamente cualquier ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, donde el "$\pm$" produce ambas soluciones a la vez (o una, si el discriminante es cero). Se deriva completando el cuadrado en la forma general, así que entender ese proceso revela de dónde viene la fórmula en lugar de requerir memorización mecánica. Sobre $\mathbb{C}$, siempre produce dos valores (contando multiplicidad), y se generaliza a soluciones en forma cerrada para la cúbica (Cardano) y la cuártica (Ferrari), aunque no existe ninguna fórmula análoga para el grado $5$ y superiores (el teorema de Abel-Ruffini).
Example
$x^2 - 5x + 6 = 0$: $a=1$, $b=-5$, $c=6$, así que $x = (5 \pm \sqrt{25-24})/2 = (5 \pm 1)/2$, dando $x = 3$ o $x = 2$. $3x^2 + 2x - 1 = 0$: $x = (-2 \pm \sqrt{4+12})/6 = (-2 \pm 4)/6$, dando $x = 1/3$ o $x = -1$. Para $x^2 + x + 1 = 0$, $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, dando $x = (-1 \pm i\sqrt{3})/2$, las raíces $6$-ésimas primitivas de la unidad que satisfacen $x^6 = 1$.
Key Insight
La fórmula cuadrática siempre funciona, incluso cuando la factorización es imposible, razón por la cual vale la pena memorizarla; pero en realidad es solo completar el cuadrado realizado una vez, en general. Como expresión con una raíz cuadrada anidada, su existencia es exactamente lo que hace que el grado $2$ sea resoluble por radicales, y la imposibilidad de una fórmula análoga para el grado $5$ y superiores es uno de los resultados más profundos del álgebra, demostrado usando teoría de grupos.