二次方程
èr cì fāng chéng
二次方程是次数为 $2$ 的多项式方程，一般写成 $ax^2 + bx + c = 0$，可通过因式分解、配方法或求根公式求解。
Formula
ax^2 + bx + c = 0
Definition
二次方程是变量最高次幂为 $2$ 的方程，标准形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a$ 不为零；可以用因式分解、配方法或求根公式求解，实数解的个数由判别式 $b^2 - 4ac$ 决定。根据代数基本定理，每个二次方程在 $\mathbb{C}$ 中恰好有 $2$ 个根（计入重数）；根据韦达定理，根之和为 $-b/a$，根之积为 $c/a$，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 揭示了根的类型：$\Delta > 0$ 时有两个不同的实根，$\Delta = 0$ 时有一个重根，$\Delta < 0$ 时有一对复共轭根。
Example
$x^2 - 5x + 6 = 0$ 分解为 $(x-2)(x-3) = 0$，得到 $x = 2$ 或 $x = 3$。$x^2 + 2x - 8 = 0$ 分解为 $(x+4)(x-2) = 0$，得到 $x = -4$ 或 $x = 2$。对 $x^2 + 1 = 0$ 而言，$\Delta = -4 < 0$，所以根 $x = \pm i$ 是一对复共轭数：没有实数解，但在 $\mathbb{C}$ 中有两个解。
Key Insight
"quadratic"中的"quad"来自拉丁语中"平方"的意思，因为变量被平方了，一个二次方程最多可以有两个答案。即使因式分解很困难，任何二次方程都可以用求根公式解出，所以同时掌握因式分解、配方法和求根公式这三种方法，能带来真正的灵活性。二次方程是代数基本定理开始显现、复数首次成为必需品的最简单情形；求根公式本身早在公元前 2000 年左右就已被巴比伦数学家所知。