Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado $2$, escrita generalmente como $ax^2 + bx + c = 0$, que se resuelve factorizando, completando el cuadrado, o mediante la fórmula cuadrática.
Formula
ax^2 + bx + c = 0
Definition
Una ecuación cuadrática es una ecuación donde la mayor potencia de la variable es $2$, escrita en forma estándar $ax^2 + bx + c = 0$ con $a$ distinto de cero; puede resolverse factorizando, completando el cuadrado, o mediante la fórmula cuadrática, y el número de soluciones reales queda determinado por el discriminante $b^2 - 4ac$. Según el Teorema Fundamental del Álgebra, toda ecuación cuadrática tiene exactamente $2$ raíces en $\mathbb{C}$ (contando multiplicidad); según las fórmulas de Vieta la suma de las raíces es $-b/a$ y su producto es $c/a$, y el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ indica qué tipo de raíces ocurren: $\Delta > 0$ da dos raíces reales distintas, $\Delta = 0$ da una raíz real repetida, y $\Delta < 0$ da dos raíces complejas conjugadas.
Example
$x^2 - 5x + 6 = 0$ se factoriza como $(x-2)(x-3) = 0$, dando $x = 2$ o $x = 3$. $x^2 + 2x - 8 = 0$ se factoriza como $(x+4)(x-2) = 0$, dando $x = -4$ o $x = 2$. Para $x^2 + 1 = 0$, $\Delta = -4 < 0$, así que las raíces $x = \pm i$ son complejas conjugadas: no hay soluciones reales, pero hay dos soluciones en $\mathbb{C}$.
Key Insight
"Cuad" en cuadrática viene del latín para cuadrado, ya que la variable está elevada al cuadrado, y una ecuación cuadrática puede tener hasta dos respuestas. Toda cuadrática puede resolverse con la fórmula cuadrática incluso cuando la factorización es difícil, así que conocer los tres métodos, factorización, completar el cuadrado, y la fórmula, da verdadera flexibilidad. Las cuadráticas son el caso más simple donde el Teorema Fundamental del Álgebra se vuelve visible y donde los números complejos se vuelven necesarios por primera vez; la propia fórmula cuadrática ya era conocida por los matemáticos babilonios alrededor del año 2000 a.C.