象限
xiàng xiàn
象限是坐标平面被x轴和y轴分成的四个区域之一，按逆时针方向编号为第I到第IV象限。
Definition
坐标平面被分成四个称为象限的区域，从右上方开始按逆时针方向编号为第I到第IV象限，由坐标的符号决定：第I象限（$x > 0$，$y > 0$）、第II象限（$x < 0$，$y > 0$）、第III象限（$x < 0$，$y < 0$）、第IV象限（$x > 0$，$y < 0$）；坐标轴上的点不属于任何象限。在复分析中，复平面的象限对应于 $z$ 的实部和虚部符号各自确定的区域，这与支割线和解析延拓有关。
Example
点 $(3, 4)$ 位于第I象限，$(-2, 5)$ 位于第II象限；点 $(-4, -7)$ 的两个坐标都是负数，所以位于第III象限，而 $(5, -3)$ 位于第IV象限，像 $(0, 5)$ 这样在坐标轴上的点不属于任何象限。主平方根函数在 $\mathbb{C}$ 去掉负实轴（支割线）之后是解析的，这条割线把第二象限与第三象限分开，该函数分别在合并了第一、二象限和第三、四象限的上下半平面上有定义。
Key Insight
要记住哪个是哪个象限，从右上方开始（两坐标都为正 = 第I象限），然后像从I数到IV那样逆时针数下去。在三角学中，一个角所在的象限决定了正弦、余弦和正切的符号，助记口诀"All Students Take Calculus"（ASTC）很有帮助：第一象限全部为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。象限的符号模式编码了傅里叶分析中至关重要的奇偶性条件，特定象限上的积分也自然出现在多元微积分中，比如第一象限上的高斯积分等于 $\pi/4$。