Cuadrante
Un cuadrante es una de las cuatro regiones del plano cartesiano divididas por el eje x y el eje y, numeradas del I al IV en sentido antihorario.
Definition
El plano cartesiano se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados del I al IV comenzando en la parte superior derecha y avanzando en sentido antihorario, definidos por los signos de las coordenadas: Cuadrante I ($x > 0$, $y > 0$), Cuadrante II ($x < 0$, $y > 0$), Cuadrante III ($x < 0$, $y < 0$), Cuadrante IV ($x > 0$, $y < 0$); los puntos sobre los ejes no pertenecen a ningún cuadrante. En análisis complejo, los cuadrantes del plano complejo corresponden a regiones donde tanto la parte real como la imaginaria de $z$ tienen signos especificados, relevante para cortes de rama y continuación analítica.
Example
El punto $(3, 4)$ está en el Cuadrante I, y $(-2, 5)$ está en el Cuadrante II; el punto $(-4, -7)$ tiene ambas coordenadas negativas, por lo que está en el Cuadrante III, mientras que $(5, -3)$ está en el Cuadrante IV, y un punto sobre un eje como $(0, 5)$ no está en ningún cuadrante. La función raíz cuadrada principal es analítica en $\mathbb{C}$ menos el eje real negativo (el corte de rama), un corte que separa Q2 de Q3, con la función definida en los semiplanos superior e inferior combinando Q1+Q2 y Q3+Q4.
Key Insight
Para recordar cuál cuadrante es cuál, comienza en la parte superior derecha (ambos positivos = Cuadrante I) y avanza en sentido antihorario como contando del I al IV. En trigonometría, el cuadrante de un ángulo determina los signos del seno, coseno y tangente, con la regla mnemotécnica "Todos los Estudiantes Toman Café" (ASTC en inglés) ayudando: Todos positivos en Q1, Seno en Q2, Tangente en Q3, Coseno en Q4. Los patrones de signos de los cuadrantes codifican condiciones de paridad fundamentales para el análisis de Fourier, y las integrales sobre cuadrantes específicos surgen naturalmente en cálculo multivariable, como la integral gaussiana sobre el primer cuadrante que es igual a $\pi/4$.