勾股数
gōu gǔ shù
勾股数是一组满足方程 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数。
Formula
a^2 + b^2 = c^2 \text{ with } a, b, c \text{ positive integers}
Definition
勾股数是满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数 $(a, b, c)$，其中最著名的是 $3$、$4$、$5$。本原勾股数（无公因子）可以由 $a = m^2 - n^2$、$b = 2mn$、$c = m^2 + n^2$ 生成，其中整数 $m > n > 0$，$\gcd(m, n) = 1$，且 $m$、$n$ 不同为奇数。它们通过 $(a/c, b/c)$ 对应单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上的有理点，有理参数化 $t = \tan(\theta/2)$ 把勾股数与莫比乌斯变换联系起来。
Example
$3$-$4$-$5$、$5$-$12$-$13$ 和 $8$-$15$-$17$ 都是勾股数，其倍数同样成立，比如 $6$-$8$-$10$。用 $m = 3$、$n = 2$：$a = 5$、$b = 12$、$c = 13$。$x^2 + y^2 = 1$ 上的有理点 $(3/5, 4/5)$ 对应勾股数 $3$-$4$-$5$，这可以通过从 $(-1, 0)$ 出发的球极投影得到。
Key Insight
勾股数给出边长均为整数的直角三角形，因此计算结果精确、不需要四舍五入，本原勾股数有无穷多个，大于 $1$ 的每个奇数都至少属于其中一个。所有勾股数的集合与单位圆上除去 $(-1, 0)$ 的有理点之间存在一一对应，对应于有理射影直线 $P^1(\mathbb{Q})$，这是现代算术几何的一个原型；怀尔斯于 1995 年证明的费马大定理表明，对于大于 $2$ 的指数，不存在类似的三元数。