Terna Pitagórica
Una terna pitagórica es un conjunto de tres enteros positivos que satisfacen la ecuación $a^2 + b^2 = c^2$.
Formula
a^2 + b^2 = c^2 \text{ with } a, b, c \text{ positive integers}
Definition
Una terna pitagórica es un grupo de tres enteros positivos $(a, b, c)$ que satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$, siendo la más famosa $3$, $4$, $5$. Las ternas primitivas (sin factor común) pueden generarse mediante $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$ para enteros $m > n > 0$ con $\gcd(m, n) = 1$ y $m, n$ no ambos impares. Corresponden a puntos racionales sobre el círculo unitario $x^2 + y^2 = 1$ mediante $(a/c, b/c)$, y la parametrización racional $t = \tan(\theta/2)$ conecta las ternas con las transformaciones de Möbius.
Example
Las ternas $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$ y $8$-$15$-$17$ son todas ternas pitagóricas, y los múltiplos también funcionan, como $6$-$8$-$10$. Usando $m = 3$, $n = 2$: $a = 5$, $b = 12$, $c = 13$. El punto racional $(3/5, 4/5)$ sobre $x^2 + y^2 = 1$ corresponde a la terna $3$-$4$-$5$, mediante proyección estereográfica desde $(-1, 0)$.
Key Insight
Las ternas pitagóricas dan triángulos rectángulos con lados de números enteros, así que los cálculos resultan exactos sin redondeo, y hay infinitas ternas primitivas, con todo número impar mayor que $1$ formando parte de al menos una. El conjunto de todas las ternas pitagóricas está en biyección con los puntos racionales del círculo unitario menos $(-1, 0)$, correspondiendo a la línea proyectiva racional $P^1(\mathbb{Q})$, un prototipo de la geometría aritmética moderna; el último teorema de Fermat (demostrado por Wiles en 1995) muestra que no existen ternas análogas para exponentes mayores que $2$.