勾股定理
gōu gǔ dìng lǐ
勾股定理指出，在直角三角形中，斜边的平方等于另外两条边平方之和。
Formula
a^2 + b^2 = c^2
Definition
勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方：$a^2 + b^2 = c^2$，所以 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，缺失的一条直角边为 $a = \sqrt{c^2 - b^2}$，这只在直角三角形中成立。它等价于欧几里得平行公设，只在欧几里得几何中成立；在球面上，$a^2 + b^2 \neq c^2$，取而代之的是球面余弦定理。在内积空间中，$||a + b||^2 = ||a||^2 + ||b||^2$ 成立当且仅当 $a$ 与 $b$ 正交，这是向无穷维的一种推广。
Example
一个直角三角形的两条直角边为 $3$ 和 $4$：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，所以斜边是 $5$。一个 $6$-$8$-? 的直角三角形给出 $c = \sqrt{36 + 64} = 10$。这个定理是距离公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ 的基础，并推广到 $\mathbb{R}^n$：如果向量 $v_1, \ldots, v_k$ 两两正交，那么 $||v_1 + \ldots + v_k||^2 = ||v_1||^2 + \ldots + ||v_k||^2$，这是傅里叶分析中帕塞瓦尔定理的基础。
Key Insight
想象在三角形每条边上画出正方形：斜边上大正方形的面积恰好等于另外两个小正方形面积之和。这个定理已知有超过 $370$ 种证明，包括詹姆斯·加菲尔德总统 1876 年发表的一个使用梯形的证明，它在代数上的深刻推论是：$\mathbb{Z}[i]$（高斯整数）构成一个欧几里得整环，其范数为 $a^2 + b^2$。