Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Formula
a^2 + b^2 = c^2
Definition
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: $a^2 + b^2 = c^2$, así que $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ y un cateto desconocido es $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, válido solo para triángulos rectángulos. Es equivalente al postulado de las paralelas de Euclides y se cumple solo en geometría euclidiana; en una esfera, $a^2 + b^2 \neq c^2$, reemplazado por la ley de cosenos esférica. En un espacio con producto interno, $||a + b||^2 = ||a||^2 + ||b||^2$ se cumple si y solo si $a$ y $b$ son ortogonales, una generalización a dimensiones infinitas.
Example
Un triángulo rectángulo tiene catetos $3$ y $4$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, así que la hipotenusa es $5$. Un triángulo rectángulo $6$-$8$-? da $c = \sqrt{36 + 64} = 10$. El teorema es el fundamento de la fórmula de distancia, $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$, y se generaliza en $\mathbb{R}^n$: si los vectores $v_1, \ldots, v_k$ son mutuamente ortogonales, $||v_1 + \ldots + v_k||^2 = ||v_1||^2 + \ldots + ||v_k||^2$, fundamental para el teorema de Parseval en el análisis de Fourier.
Key Insight
Imagina cuadrados dibujados sobre cada lado del triángulo: el área del cuadrado grande sobre la hipotenusa es exactamente igual al área combinada de los dos cuadrados más pequeños. Se conocen más de $370$ demostraciones del teorema, incluyendo una publicada por el presidente James Garfield en 1876 usando trapecios, y su profunda consecuencia algebraica es que $\mathbb{Z}[i]$ (los enteros gaussianos) forma un dominio euclidiano, con normas $a^2 + b^2$.