勾股恒等式
gōu gǔ héng děng shì
勾股恒等式是基本的三角方程 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，还有涉及正切和余切的两个相关形式。
Formula
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
Definition
勾股恒等式指出，对任意角，$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$。把两边分别除以 $\cos^2$ 或 $\sin^2$，可以得到两个相关形式：$1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ 和 $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$。这个恒等式等价于 sin 和 cos 的单位圆定义，也等价于 $|e^{ix}| = 1$，即复指数的单位模长；在微分几何中，它意味着曲线 $(\cos(t), \sin(t))$ 具有单位速度，因为 $|(-\sin(t), \cos(t))| = 1$。
Example
当 $\theta = 45^\circ$ 时：$(\sqrt{2}/2)^2 + (\sqrt{2}/2)^2 = 1/2 + 1/2 = 1$。化简 $\sin^4(x) - \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))(\sin^2(x) - \cos^2(x)) = \sin^2(x) - \cos^2(x)$ 用到了这个恒等式和平方差公式。要对 $\sqrt{1 - x^2}$ 积分，代入 $x = \sin(\theta)$：那么 $\sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta)$，从而消去根号。
Key Insight
这个恒等式直接来自单位圆：每个点 $(\cos, \sin)$ 到原点的距离都是 $1$，所以由距离公式得 $\cos^2 + \sin^2 = 1$，知道任意一个三角值就能求出其余的值（符号由象限决定），例如若 $\sin(\theta) = 3/5$，则 $\cos = \pm 4/5$。这个恒等式是单位圆作为代数簇的定义关系，即 $x^2 + y^2 - 1$ 的零点集；在复数域上，这一簇是一条光滑的有理曲线，同构于 $P^1(\mathbb{C})$。