Identidad Pitagórica
La identidad pitagórica es la ecuación trigonométrica fundamental $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, con dos formas relacionadas que involucran la tangente y la cotangente.
Formula
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
Definition
La identidad pitagórica dice que para cualquier ángulo, $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. Dos formas relacionadas surgen al dividir entre $\cos^2$ o $\sin^2$: $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ y $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$. La identidad es equivalente a la definición del círculo unitario para sin y cos y a $|e^{ix}| = 1$, el módulo unitario de la exponencial compleja; en geometría diferencial, significa que la curva $(\cos(t), \sin(t))$ tiene velocidad unitaria, ya que $|(-\sin(t), \cos(t))| = 1$.
Example
Para $\theta = 45^\circ$: $(\sqrt{2}/2)^2 + (\sqrt{2}/2)^2 = 1/2 + 1/2 = 1$. Simplificar $\sin^4(x) - \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))(\sin^2(x) - \cos^2(x)) = \sin^2(x) - \cos^2(x)$ usa la identidad junto con la diferencia de cuadrados. Para integrar $\sqrt{1 - x^2}$, sustituye $x = \sin(\theta)$: entonces $\sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta)$, eliminando la raíz cuadrada.
Key Insight
Esta identidad viene directamente del círculo unitario: cada punto $(\cos, \sin)$ está a distancia $1$ del origen, así que $\cos^2 + \sin^2 = 1$ por la fórmula de distancia, y conocer un valor trigonométrico te permite hallar el resto (con el signo determinado por el cuadrante), por ejemplo si $\sin(\theta) = 3/5$, entonces $\cos = \pm 4/5$. La identidad es la relación definitoria del círculo unitario como variedad, el conjunto de ceros de $x^2 + y^2 - 1$; sobre los números complejos esta variedad es una curva racional suave isomorfa a $P^1(\mathbb{C})$.