棱锥
léng zhuī
棱锥是一种有多边形底面、各三角形侧面汇聚于一个顶点的三维立体图形。
Formula
V = \frac{1}{3} \times B \times h
Definition
棱锥有一个平面多边形底面，若干个三角形侧面全部汇聚于一个顶点，就像埃及金字塔；正棱锥的顶点恰好位于底面形心的正上方。体积 $V = (1/3)Bh$，其中 $B$ 是底面面积，$h$ 是垂直高，无论底面多边形是什么形状都成立；斜高 $l$ 是侧面三角形的高。严格地说，棱锥是多边形底面 $P$ 与不在 $P$ 所在平面内的顶点 $A$ 的凸包；由于高度 $z$ 处的横截面是 $P$ 按因子 $(1 - z/h)$ 缩放的副本，面积为 $\text{Area}(P)(1-z/h)^2$，积分给出 $V = \int_0^h \text{Area}(\text{cross-section at } z) \, dz = (1/3)\text{Area}(P)h$。
Example
一个底面 $6$ m $\times$ $6$ m、高 $4$ m 的四棱锥，$V = (1/3) \times 36 \times 4 = 48$ m$^3$，有 $5$ 个面（$1$ 个正方形 $+ 4$ 个三角形）、$8$ 条棱、$5$ 个顶点。一个底边 $8$ m、侧棱 $10$ m 的正四棱锥，高 $h = \sqrt{10^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{68} = 8.25$ m，给出 $V = (1/3)(64)(8.25) = 176$ m$^3$。底面积为 $B_1$、顶面积为 $B_2$、高为 $h$ 的平截头体（截去顶部的棱锥），体积为 $V = (h/3)(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$；令 $B_2 = 0$ 还原为棱锥公式，令 $B_1 = B_2$ 则还原为棱柱公式。
Key Insight
三个相同的四棱锥可以拼成一个立方体，说明棱锥的容量恰好是同底同高棱柱的 $1/3$，这正是公式中 $1/3$ 的来源。任何棱锥都可以分解为若干四面体（三棱锥），这是最简单的棱锥，也是最简单的三维立体，所有棱锥和多面体都可以分解为它。德恩不变量表明，体积相等的立体不一定能用有限个多面体碎片相互剖分：体积相等的立方体和正四面体就无法这样相互转化，这解决了1900年提出的希尔伯特第三问题。