Pirámide
Una pirámide es un sólido 3D con una base poligonal y caras triangulares que se unen en un único vértice llamado ápice.
Formula
V = \frac{1}{3} \times B \times h
Definition
Una pirámide tiene una base poligonal plana con lados triangulares que se encuentran todos en un único punto ápice, como las pirámides egipcias; una pirámide recta tiene su ápice directamente sobre el centroide de la base. Volumen $V = (1/3)Bh$ donde $B$ es el área de la base y $h$ es la altura perpendicular, sin importar la forma del polígono de la base, y la altura inclinada $l$ es la altura de una cara triangular lateral. Formalmente, una pirámide es la envolvente convexa de una base poligonal $P$ y un punto ápice $A$ que no está en el plano de $P$; dado que la sección transversal a la altura $z$ es una copia escalada de $P$ con factor $(1 - z/h)$ y área $\text{Area}(P)(1-z/h)^2$, integrar da $V = \int_0^h \text{Area}(\text{cross-section at } z) \, dz = (1/3)\text{Area}(P)h$.
Example
Una pirámide cuadrada con base $6$ m $\times$ $6$ m y altura $4$ m tiene $V = (1/3) \times 36 \times 4 = 48$ m$^3$, con $5$ caras ($1$ cuadrado $+ 4$ triángulos), $8$ aristas y $5$ vértices. Una pirámide cuadrada regular con lado de base $8$ m y arista lateral $10$ m tiene altura $h = \sqrt{10^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{68} = 8.25$ m, dando $V = (1/3)(64)(8.25) = 176$ m$^3$. Un tronco (pirámide truncada) con área de base $B_1$, área superior $B_2$, altura $h$ tiene $V = (h/3)(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$; al hacer $B_2 = 0$ se recupera la fórmula de la pirámide, y al hacer $B_1 = B_2$ se recupera la fórmula del prisma.
Key Insight
Tres pirámides cuadradas idénticas pueden ensamblarse para formar un cubo, mostrando que una pirámide contiene exactamente $1/3$ de lo que contiene un prisma con la misma base y altura, de donde viene el $1/3$ en la fórmula. Cualquier pirámide puede dividirse en tetraedros (pirámides triangulares), la pirámide más simple y el sólido 3D más simple, en el cual pueden descomponerse todas las pirámides y poliedros. El invariante de Dehn muestra que no todos los sólidos de igual volumen pueden diseccionarse entre sí usando un número finito de piezas poliédricas, un cubo y un tetraedro regular de igual volumen no pueden relacionarse de esa forma, resolviendo el tercer problema de Hilbert en 1900.