比例关系
bǐ lì guān xì
当两个量始终保持恒定比值时，就存在比例关系，可用方程y = kx表示。
Formula
y = kx \text{ (}k\text{ is the constant of proportionality)}
Definition
比例关系意味着两个量总是以相同的速率一起增长或缩小：如果一个量翻倍，另一个也翻倍，两者之间的比始终是同一个数。形式上，如果对某个非零常数$k$（比例常数，或单位比率）有$y = kx$，那么$x$和$y$具有比例关系；对所有数对而言比值$y/x$都是常数，图像是一条通过原点的直线，$x$翻倍则$y$也翻倍。这是一个线性映射$f(x) = kx$，是加法群$\mathbb{R}$的一个同态，同时满足$f(cx) = cf(x)$（$1$次齐次性）；在更高维度中，比例关系推广为线性映射（矩阵），这是线性代数的基础。
Example
一辆车以稳定的每小时$60$英里行驶，$1$小时走$60$英里，$2$小时走$120$英里，$3$小时走$180$英里：英里数与小时数成比例，因为英里数/小时数始终等于$60$。检验一张数据表是否表示比例关系：对于$(2,6)$、$(5,15)$、$(8,24)$，比值$6/2=3$、$15/5=3$、$24/8=3$都是常数，所以$y=3x$是比例关系；但$(2,7)$、$(5,15)$、$(8,24)$则不是，因为$7/2=3.5 \neq 15/5=3$。在物理学中，欧姆定律$V = IR$表示在电阻$R$恒定时电压与电流之间的比例关系：$I$翻倍则$V$也翻倍，$V$对$I$的图像是一条过原点、斜率为$R$的直线。
Key Insight
比例关系在图像上总是通过原点$(0,0)$，形成一条直线：如果某人每小时挣$\$15$，$0$小时是$\$0$，$1$小时是$\$15$，$2$小时是$\$30$，是一条完美地穿过零点的直线。但并非所有线性函数都是比例关系：$y = kx + b$（$b \neq 0$）是线性的，但不是比例关系，因为比值$y/x$会随$x$变化。比例关系的研究通常是初次接触线性函数和代数基础的机会；在更深层次上，线性公理（可加性加齐次性）把比例关系推广到抽象向量空间，是整个线性代数的基础。