Relación Proporcional
Una relación proporcional existe cuando dos cantidades siempre tienen una razón constante, representada por la ecuación y = kx.
Formula
y = kx \text{ (}k\text{ is the constant of proportionality)}
Definition
Una relación proporcional significa que dos cantidades siempre crecen o decrecen juntas a la misma tasa: si duplicas una, la otra también se duplica, y la razón entre ellas siempre es el mismo número. Formalmente, $x$ y $y$ tienen una relación proporcional si $y = kx$ para alguna constante $k$ distinta de cero (la constante de proporcionalidad, o tasa unitaria); la razón $y/x$ es constante para todos los pares, la gráfica es una línea recta que pasa por el origen, y duplicar $x$ duplica $y$. Esto es un mapa lineal unidimensional $f(x) = kx$, un homomorfismo del grupo aditivo $\mathbb{R}$ que también satisface $f(cx) = cf(x)$ (homogeneidad de grado $1$); en dimensiones superiores, las relaciones proporcionales se generalizan a mapas lineales (matrices), el fundamento del álgebra lineal.
Example
Un auto que viaja a una velocidad constante de $60$ mph recorre $60$ millas en $1$ hora, $120$ millas en $2$ horas, $180$ millas en $3$ horas: las millas y las horas son proporcionales, ya que millas/horas siempre es igual a $60$. Comprobar si una tabla representa una relación proporcional: para $(2,6)$, $(5,15)$, $(8,24)$, las razones $6/2=3$, $15/5=3$, $24/8=3$ son todas constantes, así que $y=3x$ es proporcional; pero $(2,7)$, $(5,15)$, $(8,24)$ no lo es, ya que $7/2=3.5 \neq 15/5=3$. En física, la ley de Ohm $V = IR$ es una relación proporcional entre voltaje y corriente a resistencia constante $R$: duplicar $I$ duplica $V$, y la gráfica de $V$ contra $I$ es una línea que pasa por el origen con pendiente $R$.
Key Insight
Las relaciones proporcionales siempre pasan por el origen $(0,0)$ en una gráfica y forman una línea recta: si alguien gana $\$15$/hora, $0$ horas es $\$0$, $1$ hora es $\$15$, $2$ horas es $\$30$, una línea perfectamente recta desde cero. Sin embargo, no todas las funciones lineales son proporcionales: $y = kx + b$ con $b \neq 0$ es lineal pero NO proporcional, porque la razón $y/x$ cambia con $x$. El estudio de las relaciones proporcionales suele ser el primer encuentro con las funciones lineales y el fundamento del álgebra; en un nivel más profundo, los axiomas de la linealidad (aditividad más homogeneidad) generalizan las relaciones proporcionales a espacios vectoriales abstractos, sustentando todo el álgebra lineal.