比例式
bǐ lì shì
比例式是表示两个比相等的等式，用来求解一个量随另一个量按比例变化的问题。
Formula
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \text{ (equivalently, } ad = bc\text{)}
Definition
比例式表示两个比相等，是一个两边各有一个比的等式，它可以帮助解决诸如"如果$3$个苹果卖$\$1.50$，$7$个苹果多少钱？"这样的问题。形式上，比例式是方程$a/b = c/d$，交叉相乘性质表明$a/b = c/d$当且仅当$ad = bc$（交叉乘积相等，其中$a$和$d$是"外项"，$b$和$c$是"内项"），因此已知四个值中的任意三个，就能求出第四个。比例式在几何中也有体现：它是相似三角形（对应边满足$a:b = c:d$）和几何平均数$g = \sqrt{ab}$（构成比例式$a:g = g:b$的那个值）的基础。
Example
求解$3$个苹果$/\$1.50 = 7$个苹果$/x$：交叉相乘得$3x = 7 \times 1.50 = 10.50$，所以$x = \$3.50$，两种情况下每个苹果的价格保持不变。一张比例尺为$1$英寸$= 25$英里的地图，两座城市相距$3.6$英寸，通过交叉相乘$1/25 = 3.6/x$得到实际距离$25 \times 3.6 = 90$英里。$a=4$与$b=9$的几何平均数是满足$a/g = g/b$的值$g$，即$g^2 = ab = 36$，所以$g = 6$；验证：$4/6 = 2/3$，$6/9 = 2/3$。
Key Insight
比例式是食谱、地图、模型和购物比较背后的数学，每当你按照相同的比例放大或缩小某物时，你都在使用比例式。交叉相乘规则来自把等式$a/b = c/d$两边同时乘以$bd$，把一个有理方程转化为一个更简单的线性方程，这是一个强大的代数手法，能一次性清除所有分数。比例性是量纲分析、比例定律和几何相似性的基础；开普勒第三定律（$T^2$正比于$a^3$）和牛顿万有引力定律都断言比例关系的存在，这使得比例式可以说是所有定量科学中应用最广泛的关系。