Proporción
Una proporción es una ecuación que establece que dos razones son iguales, y se usa para resolver problemas en los que una cantidad se escala con otra.
Formula
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \text{ (equivalently, } ad = bc\text{)}
Definition
Una proporción establece que dos razones son iguales, una ecuación con una razón en cada lado, y ayuda a resolver problemas como "si $3$ manzanas cuestan $\$1.50$, ¿cuánto cuestan $7$ manzanas?" Formalmente, una proporción es la ecuación $a/b = c/d$, y la propiedad de la multiplicación cruzada establece que $a/b = c/d$ si y solo si $ad = bc$ (los productos cruzados son iguales, donde $a$ y $d$ son los "extremos" y $b$ y $c$ son los "medios"), así que dados tres de los cuatro valores, el cuarto puede hallarse. La proporción también tiene una vida geométrica: sustenta los triángulos semejantes (donde los lados correspondientes cumplen $a:b = c:d$) y la media geométrica $g = \sqrt{ab}$, el valor que forma una proporción $a:g = g:b$.
Example
Resolver $3$ manzanas$/\$1.50 = 7$ manzanas$/x$: multiplica en cruz para obtener $3x = 7 \times 1.50 = 10.50$, así que $x = \$3.50$, el precio por manzana se mantiene igual en ambos casos. Un mapa con escala $1$ pulgada $= 25$ millas, con dos ciudades a $3.6$ pulgadas de distancia, da una distancia real de $25 \times 3.6 = 90$ millas al multiplicar en cruz $1/25 = 3.6/x$. La media geométrica de $a=4$ y $b=9$ es el valor $g$ tal que $a/g = g/b$, es decir $g^2 = ab = 36$, así que $g = 6$; comprueba: $4/6 = 2/3$ y $6/9 = 2/3$.
Key Insight
Las proporciones son la matemática detrás de las recetas, los mapas, los modelos y las comparaciones de compras; cada vez que escalas algo hacia arriba o hacia abajo manteniendo la misma razón, estás usando una proporción. La regla de la multiplicación cruzada viene de multiplicar ambos lados de $a/b = c/d$ por $bd$, transformando una ecuación racional en una lineal más simple, un poderoso movimiento algebraico que elimina todas las fracciones de una vez. La proporcionalidad es el fundamento del análisis dimensional, las leyes de escala y la semejanza en geometría; la tercera ley de Kepler ($T^2$ proporcional a $a^3$) y la ley de gravitación de Newton afirman ambas relaciones proporcionales, lo que hace de la proporción posiblemente la relación más ampliamente aplicada en toda la ciencia cuantitativa.