真子集
zhēn zǐ jí
真子集是严格小于原集合的子集,也就是说它至少缺少一个元素。
Formula
A \subset B: A \subseteq B \text{ and } A \neq B
Definition
真子集是没有用尽原集合所有元素的子集；它真正"包含在"另一个集合内部，至少留下一个元素在外面。严格地说，若 $A \subseteq B$ 且 $A \neq B$，则 $A$ 是 $B$ 的真子集（记作 $A \subset B$ 或 $A \subsetneq B$），等价地说，$A$ 的每个元素都在 $B$ 中，且 $B$ 中至少存在一个元素不在 $A$ 中。在无穷集合的语境下，一个集合可以与其自身的一个真子集建立一一对应（戴德金无穷集）：$\mathbb{N} \cong \{\text{even numbers}\}$，通过 $n \mapsto 2n$ 建立对应，这常常被用作无穷集合本身的定义。
Example
$\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}$，因为 $\{1, 2\}$ 是一个子集，而更大的集合中还有一个额外的元素（$3$），但 $\{1, 2, 3\}$ 不是自身的真子集。$\{a, b\}$ 的子集是 $\emptyset$、$\{a\}$、$\{b\}$、$\{a,b\}$；真子集是 $\emptyset$、$\{a\}$、$\{b\}$。希尔伯特旅馆展示了无穷情形：一家可数无穷的旅馆即使已经"住满"，也能通过让所有现有客人挪动房间来容纳新客人，这说明这家旅馆是戴德金无穷的。
Key Insight
每个真子集都是子集，但并非每个子集都是真子集；一个集合是自身的子集，但永远不是自身的真子集。康托尔定理指出幂集 $P(A)$ 在基数上永远是 $A$ 的真超集，$|P(A)| > |A|$，说明不存在最大的无穷；而一个集合与其真子集之间存在一一对应，这一性质刻画了戴德金对无穷的定义，是基于基数定义无穷的另一种替代方案。