Subconjunto Propio
Un subconjunto propio es un subconjunto estrictamente más pequeño que el conjunto original, es decir, le falta al menos un elemento.
Formula
A \subset B: A \subseteq B \text{ and } A \neq B
Definition
Un subconjunto propio es un subconjunto que no usa todos los elementos del conjunto original; está verdaderamente "dentro" del otro conjunto con al menos un elemento fuera. Formalmente, $A$ es un subconjunto propio de $B$ (escrito $A \subset B$ o $A \subsetneq B$) si $A \subseteq B$ y $A \neq B$, equivalentemente todo elemento de $A$ está en $B$ y existe al menos un elemento en $B$ que no está en $A$. En el contexto de los conjuntos infinitos, un conjunto puede estar en biyección con un subconjunto propio de sí mismo (conjuntos infinitos según Dedekind): $\mathbb{N} \cong \{\text{even numbers}\}$ mediante $n \mapsto 2n$, a menudo usado como la definición misma de conjunto infinito.
Example
$\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}$ porque $\{1, 2\}$ es un subconjunto y hay un elemento extra ($3$) en el conjunto mayor, pero $\{1, 2, 3\}$ no es un subconjunto propio de sí mismo. Los subconjuntos de $\{a, b\}$ son $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a,b\}$; los subconjuntos propios son $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$. El Hotel de Hilbert ilustra el caso infinito: un hotel infinito numerable puede alojar nuevos huéspedes incluso cuando está "lleno" reubicando a todos los huéspedes actuales, mostrando que el hotel es infinito según Dedekind.
Key Insight
Todo subconjunto propio es un subconjunto, pero no todo subconjunto es propio; un conjunto es subconjunto de sí mismo pero nunca un subconjunto propio de sí mismo. El teorema de Cantor establece que el conjunto potencia $P(A)$ siempre es un superconjunto propio de $A$ en cardinalidad, $|P(A)| > |A|$, mostrando que no existe el infinito más grande, y la existencia de una biyección entre un conjunto y un subconjunto propio caracteriza a los conjuntos infinitos en la formulación de Dedekind, una alternativa a las definiciones de infinito basadas en cardinalidad.